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Edit v5.001 from 2005-04-22 to 2024-07-12 by HSc+MJa+SSc

Das rechtwinklige Dreieck

Mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks können Entfernungen und Größen berechnet werden, ohne dass man es körperlich nachprüfen muss.

Dieses Verfahren, einen rechten Winkel im Seitenverhältnis von 3:4:5 zu konstruieren, wendete schon eine ägyptische Priesterschaft mit dem Namen Harpedonaten (Seilspanner) an. Denn wenn an einem Rechteck das Verhältnis von Höhe zur Breite, wie 3 zu 4 ist, ergibt sich daraus eine Diagonale im Verhältnis zu 5.

Die Anwendungsbeispiele mit der Berechnung der Die Formel Dreieck wurden aus der Formelsammung zum Thema Geometrie geholt.

Aufgabe 1

Edit v5.011 from 2008-11-17 to 2024-07-19 by HSc

Höhe des Monitors

Aufgabe: Es soll die Höhe des Monitors berechnet werden. Er hat eine Bildschirmdiagonale von 17Zoll (1Zoll=2,54cm). Die Seiten verhalten sich wie 3:4.

Gesucht: In der Skizze rot unterstrichen.
Die Höhe h in cm
Gegeben: In der Skizze grün unterstrichen.
  • Diagonale d=17Zoll=17"
  • Verhältnis Höhe h zu Breite b wie h:b = 3:4
  • Rechter Winkel in der linken oberen Ecke

Formel:
  • c2 nach dem Satz des Pythagoras
  • a2 + b2

Konstanten:
  • 1Zoll
  • 1"
  • 2,54cm
Skizze:
rwde02.png
Abb. 02: Skizze des 17" Monitors.
Lösung:
Berechnen der Monitordiagonalen d in cm
  • 17"/1"
  • d/2,54cm
Umstellen nach der Diagonale d
  • Diagonale d
  • (17"/1") * 2,54cm = 43,18cm
Umrechnen der Abhängigkeit der Breite b in cm mittels Verhältnisgleichung in Abhängikeit von der Höhe.
  • h:b
  • 3:4   | Umstellung nach der Breite b
  • b
  • 4/3*h
Berechnung der Monitorhöhe h mittels des Satz des Pythagoras durch die berechnete Diagonale d und der Breite b.
  • d2
  • h2 + b2
  • h2 + (4/3*h)2
  • h2 + (4/3)2*h2
  • h2 * (12+(4/3)2)
  • h2 * (1+16/9)
  • h2 * 25/9   | Umstellung nach H durch / (25/9)
wurzel der Höhe zum Quadrat berechen:
  • h2
  • ± ≈[d2/(25/9)]
  • ± ≈[(43,18cm)2/(25/9)]
  • ± ≈[671,22cm2]
  • ± 25,908cm

Antwortsatz: Die Höhe des Monitors beträgt rund +25,9cm. Der negative Wert der Wurzel ist hier nicht von Nutzen und physikalisch auch nicht Nachvollziebar.

Aufgabe 2

Edit v5.000 from 2008-11-17 to 2024-07-09 by HSc

Monitoraufstellung nach ergonomischen Punkten
rwde03a.jpg
Abb. 03a: Skizze der Monitoraufstellung.
Aufgabe:
Ein PC−Benutzer hat einen Monitor mit einer Diagonale von 17Zoll und einer Höhe von 25,908cm. Der menschl. vertikale Blickwinkel beträgt ca. 40°. In welchen Abstand sollte der Benutzer mind. vom Monitor weg sein, damit er den Monitorbildschirm voll im Blick hat? Ein entspannt sitzender Mensch neigt in der Regel seine Kopf−Hals−Verbindung um 20° und schaut gerne senkrecht auf dem Monitor.
Gesucht: In der Skizze rot unterstrichen.
  1. Der Mindestabstand a in cm zwischen PC−Benutzer und Monitor.

Gegeben: In der Skizze grün unterstrichen.
  • Höhe von 17" Monitor ist h = 25,908cm
  • Winkel Delta δ = 20° ist die Neigung der Kopf−Hals−Achse
  • Winkel Gamma γ = 40° ist der vertikale Blickwinkel des Menschen

Formel:
  • Sinussatz im rechtwinkligen Dreieck
    sin (β)= b/c
  • Cosinussatz im rechtwinkligen Dreieck
    cos (β) = a/c

Konstanten: -
Skizze:
rwde03b.png
Abb. 03: Skizze der Monitoraufstellung.
Lösung:
Berechnung der halben Höhe b des Monitors
b = h/2
b = 25,90cm/2
b = 12,95cm

Berechnung des halben vertikalen Blickwinkels β des Menschen
β = γ/2
β = 40/2
β = 20°

Berechnung der Horizontalen c von der Augenposition zur Monitoroberkante
sin(β) = b/c umgestellt zu
c = b/sin(β)
c = 12,95cm/sin(20°) = 12,95cm/ 0,3420
c = 37,86cm ≈ 37,9cm

Berechnung des Mindestabstands a in cm zwischen PC−Benutzer und Monitor.
cos(β) = a/c umgestellt zu
a = c*cos(β)
a = 37,86cm*cos(20°) = 37,86cm*0,9396
a = 35,57cm ≈ 35,6cm
wurzel der Höhe zum Quadrat berechen:
  • h2
  • ± ≈[d2/(25/9)]
  • ± ≈[(43,18cm)2/(25/9)]
  • ± ≈[671,22cm2]
  • ± 25,908cm

Antwortsatz: Der Mindestabstand zwischen den Augen des PC−Benutzers und einem Monitor mit 17Zoll sollte rund 35,6cm betragen.

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