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Grundrechenarten und Basis der logische Formeln

Logische Operationen wie UND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR und deren Symbole.

Edit v1.010 from 2002-09-27 to 2002-10-25 by K. Heinemann

Grundrechenarten

Tabelle 1a: Binäre Rechenregeln der Dualzahlen für die Grundrechenarten
Addition Subtraktion Multiplikation Division
0 + 0 = 0 0 - 0 = 0 0 * 0 = 0 0 : 0 = nicht definiert
0 + 1 = 1 0 - 1 = 1 Übertrag -1 0 * 1 = 0 0 : 1 = 0
1 + 0 = 1 1 - 0 = 1 1 * 0 = 0 1 : 0 = nicht definiert
1 + 1 = 0 Übertrag +1 1 - 1 = 0 1 * 1 = 1 1 : 1 = 1
Zu ihnen gehören die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division. Die Rechenregeln für die Binären lauten:

Ich habe bei jedem folgenden Beispiel nicht nur die Dualzahlen benutzt, sonder auch die Dezimalzahlen.


Addition

Tabelle 1b: Addition von zwei Dual- bzw. Dezimalzahlen mit der selben Größe nur jeweils anderen Zahlenformat
0 0 1 0 0 1 0 1 B
+ 0 1 1 0 1 0 0 1 B
Übertrag + 1 1 1 B
= 1 0 0 0 1 1 1 0 B
3 7 D
+ 1 0 5 D
Übertrag + 1 D
= 1 4 2 D
Hier werden folgende zwei Dual- bzw. Dezimalzahlen verwendet:
  1. Zahl: 00100101B = 37D und
  2. Zahl: 01101001B = 105D.

In dieser Rechnung müssen dieses zwei Zahlen addiert werden.


Subtraktion

Tabelle 1c: Subtraktion von zwei Dual- bzw. Dezimalzahlen mit der selben Größe nur jeweils anderen Zahlenformat
0 1 1 1 0 0 1 1 B
- 0 0 1 1 1 0 0 0 B
Übertrag - 1 1 1 B
= 0 0 1 1 1 0 1 1 B
1 1 5 D
- 5 6 D
Übertrag - 1 D
= 5 9 D
Bei diesem Beispiel sollen die beiden Zahlen
  1. Zahl: 01110011B = 115D und AAB
  2. Zahl: 00111000B = 56D
voneinander subtrahiert werden.

Multiplikation

Tabelle 1d: Multiplikation von zwei Dual- bzw. Dezimalzahlen mit der selben Größe nur jeweils anderen Zahlenformat
1 0 1 1 * 1 1 1 0 B
1 0 1 1 B
+ 1 0 1 1 B
+ 1 0 1 1 B
+ 0 0 0 0 B
Übertrag + 1 1 1 1 1 B
= 1 0 0 1 1 0 1 0 B
1 1 * 1 4 D
1 1 D
+ 4 4 D
= 1 5 4 D
Bei diesem Beispiel sollen die beiden Zahlen
  1. Zahl: 1011B = 11D und
  2. Zahl: 1110B = 14D
miteinander multipliziert werden.

Dabei wird die linke Zahl mit der 1. Ziffer der rechten Zahl multipliziert und diese Produkte werden dann zueinander addiert.


Division

Tabelle 1e: Division von zwei Dual- bzw. Dezimalzahlen mit der selben Größe nur jeweils anderen Zahlenformat
1 0 1 0 1 0 0 1 : 1 1 0 1 = B
- 1 1 0 1 0 B
= 1 0 1 0 1
- 1 1 0 1 0 1 B
= 1 0 0 0 0
- 1 1 0 1 0 1 1 B
= 1 1 0
- 1 1 0 1 0 1 1 0 B
= 1 1 0 0
- 1 1 0 1 0 1 1 0 1 B
= 0
1 6 9 : 1 3 = ? ? D
- 1 3 = 1 D
= 3 9
- 3 9 = 1 3 D
= 0
Bei diesem Beispiel sollen die beiden Zahlen
  1. Zahl: 1010 1001B = 169D und
  2. Zahl: 1101B = 13D
durcheinander dividiert werden.

Dabei wird im vorderen Teil der linke Zahl geschätzt wie oft die rechte Zahl hinein passt. Der Faktor reicht von 0 bis 9 bei den dezimalen und von 0 bis 1 bei den dualen Zahlen. Dieses Produkt aus gefundenen Faktor und rechter Zahl wird von der linken Zahl abgezogen. Der Faktor selbst ist Teil des gesuchten Ergebnisses.

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Komplement-Bildung

Ein Komplement (/105/, S. 69: Komplementbildung) ist die Ergänzung der gegebenen Zahl im vorgegebenen Zahlenbereich als ganzen Potenz der Basis. Es gibt zwei verschiedene Typen von den Komplementen, das Einerkomplement (/109/, S. 15: Einerkomplement) und das Zweierkomplement (/109/, S. 16: Zweierkomplement).

Das Einerkomplement

Tabelle 2a: Das Einerkomplement im Zahlenbereich 24=16
von 0…15 bzw. von -7…+7
Ausgangszahl Einerkomplement
+4D = 0 100B 1 011B = -4D bzw. +11D
-6D bzw. +9D = 1 001B 0 110B = +6D

Tabelle 2b: Das Einerkomplement im Zahlenbereich 27=128
von 0…127 bzw. von -63…+63
Ausgangszahl Einerkomplement
+19D = 01 0011B 10 1100B = -19D bzw. 44D
+25D = 01 1001B 10 0110B = -25D bzw. 38D
-5D bzw. +58D = 11 1010B 00 0101B = +5D
Die positiven Zahlen werden in normaler, dualer Form mit Vorzeichen dargestellt. Die negierten Zahlen werden durch das Einerkomplement gebildet, d.h. jedes einzelne Bit wird umgekehrt dargestellt (aus 1 wird 0 / aus 0 wird 1).
Nachteile:
  • Im Zahlenbereich gibt es immer zwei Nullen, wie zum Beispiel 0000B und das Einerkomplement 1111B.
  • Die negierte Zahl ist als Zahlenwert die Differenz zur oberen Null und nicht sofort erkennbar.

Das Zweierkomplement

Tabelle 2c: Das Zweierkomplement im Zahlenbereich 24=16
von 0…15 bzw. von -8…+7
Ausgangszahl Zweierkomplement
+4D = 0 100B 1 100B = -4D bzw. +12D
-7D bzw. +9D = 1 001B 0 111B = +7D

Tabelle 2d: Das Zweierkomplement im Zahlenbereich 27=128
von 0…127 bzw. von -63…+63
Ausgangszahl Zweierkomplement
+19D = 01 0011B 10 1101B = -19D bzw. 45D
+25D = 01 1001B 10 0111B = -25D bzw. 39D
-6D bzw. +58D = 11 1010B 00 0110B = +6D
Um den Nachteil der zwei Nullen beim Einerkomplement zu beseitigen, wurde das Zweierkomplement eingeführt. Dabei wird nach der Bildung des Einerkomplents, noch eine Eins dazu addiert.
Nachteile:
  • Die negierte Zahl ist als Zahlenwert die Differenz zur oberen Null und nicht sofort erkennbar.
Vorteile:
  • Die negative Zahl aus dem Zweierkomplent kann zu einer anderen Zahl der selben Größenordnung normal dazu addiert werden, wobei eigendlich eine Substraktion erfolgt. Als Beispiel soll +17D + (-7D) = +10D dienen.

Tabelle 1b: Addition von einer positiven und einer negativen Dualzahl als Zweierkomplement im vorgegebenen Zahlenbereich 26=32.
0 1 0 0 0 1 B = 17D
+ 1 1 1 0 0 1 B = -7D
1 0 0   1 0 1 0 B = 10D
Und einen Übertrag 1, welcher ignoriert wird, da er außerhalb des Zahlenbereiches liegt.

Edit v1.020 from 2002-09-27 to 2012-08-03 by KHe+HSc

Logische Operationnen

(/105/, S. 100: Verknüpfungsbausteine)

bcac01a.jpg Abb. 01a: Verknüpfungsbausteine
Es gibt immer zwei Operationen, mit denen die anderenen Nachgebildet werden können. Hier könnten das NOR und NAND sein. Weiter Operationen sind UND, OR, NOT, XOR und XNOR.
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